我们该走向何方——写在临近毕业之际

入学时曾写的预测： 《请允许我谈谈对未来的看法》 当今世界，风起云涌，工业界也悄悄地孕育着变革，在我毕设期间学习T.JR.Hughes的《Isogeometric analysis: toward integration of CAD& FEA》的时候，书中关于工业设计模式变革的描述（分析导向的设计）并没有引起我的注意；直到今年暑假在Altair 官网看到了一条关于优化导向型设计的产品广告，我才意识到这不是镜中水月，不是空中楼阁；这是当今时代的工业新浪潮：曾经有人从市场份额的角度断言CAE（分析）是CAD（设计）的派生产业，而如今CAE却要反过来指导甚至主导CAD的相关产业！ 另一方面，自暑期以来的学习让我感受到了结构优化在不论学术上还是工程中的深度、广度和热度，就连我在西安交大，挠曲电方向的同学也在积极地关注着MMC的进展。换言之，也许我们小小圈子里的一颗小石子也能激起新浪潮的一朵浪花。力学讲究与生活实践结合，学科本身就决定要从工程中来，到工程中去。在我有幸窥见工业变革的这些迹象后，又怎能像他人一样闲情雅志，在自己的一亩三分地里悠闲地耕耘呢？ 请允许我大胆地预测：工业界对（计算几何X计算力学）的需求会越来越高，如等几何分析（节约网格划分成本，降低几何离散误差），MMC（有效解决优化结果几何重构问题，同时降低计算负担）。比如等几何分析这种思维模式可以抽象为计算力学引用计算几何的工具，而且可以看成：为了解决网格前处理导致的问题，而考虑使用样条函数，甚至是最新的样条，甚至计算几何社区的学者也会为了与有限元协同而创造全新样条。所以说并不是为了用而用，而是基于力学问题而用。这种现象并不是历史上第一次：如牛顿力学之于欧氏几何，拉格朗日力学之于黎曼几何，哈密顿力学之于辛几何；如变形梯度张量，前推后拉，lie导数都是来源于几何学；再比如我自身的一个想法，昨天看到一篇文章“Surface deformation with differential geometric structures, CAGD.” 作者想要用B-样条曲面描述人腿的变形情况，做个不严格的论断，这样的工具可以用在软物质的形变分析上的。总而言之，数学不完全是个形式化的学科：为了描述一个事物的变化，数学家可能会创造一些工具，相关学科同样需要描述该事物的变化，学科交叉便产生了。 根据这类历史，可以看出“工具引用类”学科交叉的必然性以及威力。 整理一下我的想法 我对自己的规划：计算力学X计算几何，拓扑优化X显式几何。 原因:工业趋势，显式拓扑描述，兴趣。

实际上，我的用几何学的工具来求解优化问题的想法，来源于程先生的著作《工程结构优化基础》，书上多次采用直观的几何来解释复杂的定理：

1. 库-塔克条件：在最优点，目标函数的负梯度应该是所有有效约束梯度的非线性组合。这样的不等式可以由一系列的矢量、切线和法线围成的区域表示。
2. 单纯形法、最速下降法、可行性调整、罚函数法等收敛历程的几何图示。
3. 对偶问题的几何解释启发了我利用几何学工具来优化的想法。 但具体而言要通过几何学研究什么要改善什么，则因为阅读量的限制而迟迟没有思路。 直到我在吴崇试先生的数学物理方程书中，看到了对Sturm-Liouville型方程一般形式中，对于权重函数的解释：“可以称之为来源于空间的几何描述的不均匀性，也可以来源于问题所涉及的物理性质的不均匀性”。对于一个权重函数，竟然出现了实际意义的“歧义”，而这种“歧义”正是来自于，“空间几何不均匀性”和“物理性质不均匀性”在某种情况下的控制方程是一样的。这样的观点让我不禁想起拓扑优化的本质：寻求材料的最优分布（对应物理性质的不均匀性），进而想起我们的显式拓扑优化，材料分布描述也许可以和某种空间几何描述的不均匀性从方程形式上统一，进而采用几何学的工具描述我们的材料分布情况。 当今物理学界火爆的拓扑物理学不也算是数学物理方向吗，而我正在学习数学物理方程的课程，what a coincidence!